Pro systémy dynamické geometrie je typická orientace na podporu syntetického přístupu ke geometrickým problémům. Ač jsou fakticky postaveny na základě nástrojů analytické geometrie, nabízejí uživatelské prostředí s grafickým zobrazením útvarů a s manipulací přibližující manuální rýsovací a konstrukční postupy.
Uživatelskou komunikaci umožňující vyjádření útvarů metodou souřadnic a výpočetní nástroje s tím související nabízejí tyto systémy v různé míře. Například program GeoGebra nabízí rovnocenný přístup k objektům ve scéně – zatím v planimetrické verzi – jak v okně průmětu, tak v okně Algebra a program nabízí uživateli alternativní přístup k objektům: popisný – analytický a algebraický i konstrukční – syntetický.
Naproti tomu podpora analytického přístupu v systému Cabri 3D je velmi omezená. Uživatel může souřadnice a rovnice objektů pouze zobrazovat a při dynamické manipulaci sledovat jejich změnu. Výjimkou je pouze možnost zadat bod ve scéně pomocí jeho souřadnic. To sice dovolí například ověřit řešení některých úloh uváděných v učebnicích (viz např. [4], str. 116), ale nejde rozhodně plnohodnotnou podporou analytického vyjádření. Je to jediná možnost pro aktivní vstup ve formě analytického vyjádření útvarů. Není tedy možné (na rozdíl od principů systému GeoGebra) zadat rovinu pomocí její obecné rovnice ani měnit koeficienty v zobrazené rovnici dříve zkonstruované roviny a tak polohu roviny měnit. Je však možné zadat bod o souřadnicích, které jsou výsledkem výpočtu nástroje Kalkulačka a vycházejí z hodnot naměřených v dynamické scéně a modelovat tak pohyb bodu po křivce nebo na ploše. Jde o nástroj dosti nepohodlný a pro modelování pomocí analytického vyjádření útvarů velmi omezující.
Přesto může být model sestrojený v Cabri 3D užitečnou pomůckou pro řešení úloh, kde požadujeme (nebo kde je vhodné) řešení metodou analytické geometrie, ale které jsou zadány v řeči syntetické geometrie – tedy například takových, jejichž řešení obvykle začíná vhodnou volbou soustavy souřadnic. Dynamický model pak může poskytnout (orientační) kontrolu správnosti analytického řešení.
Řešení: Problém jsme stereometrickými úvahami řešili již v Úloze 1. Při vhodné volbě soustavy souřadnic – viz model rezkru na obrázku 5.1 – mají určující body roviny řezu souřadnice A′ [0, 0, 1], B [1, 0, 0], D [0, 1, 0] a jimi určená rovina α má rovnici x+y+z=1. Tělesová úhlopříčka u určená body A [0, 0, 0], C′ [1, 1, 1] má parametrické vyjádření u [t, t, t], t∈ R. Průsečík M roviny α s přímkou u je bod přímky pro parametr t=1/3 a tudíž má souřadnice M [1/3, 1/3, 1/3]. Leží ve třetině úhlopříčky. Délky hledaných úseček jsou |AM |=√3/3, |MC′ |=2√3/3.
Podobně můžeme využitím metody souřadnic ilustrovat řešení Příkladu 3 v Kapitole 6, jak ukazuje obrázek 5.2.
Figure 5.1: Úloha 8
Zatímco některé nástroje nejsou příliš přívětivé – například přímka je popsána dvojicí rovnic rovin, v nichž leží, přičemž volba oněch rovin není na první pohled srozumitelná a působí poněkud vrtošivě, nástroje Součet vektorů a Vektorový součin jsou užitečné a didakticky cenné.
Nabízíme několik modelů, které by měly být sestrojitelné obdobným způsobem i v jiných systémech a které mohou fungovat jako názorná demonstrace při zkoumání souřadnicového vyjádření útvarů. Jsme si přitom vědomi skutečnosti, že celá část věnovaná analytické geometrii v trojrozměrném prostoru, která bývala součástí povinného1 kurzu analytické geometrie, již mezi povinné učivo zařazena není. Zařazujeme ji sem tedy jako poznámku pro zájemce a rozšiřující učivo. V tomto kontextu pak můžeme mezi nabízené modely zařadit i modely, které ukazují parametrické vyjádření křivek, o němž se zmíníme dále.
K demonstraci základních pojmů a významu analytického popisu geometrických útvarů uvádíme následující modely:
Kinematický popis prostorových křivek objasňuje podstatu parametrického vyjádření běžných křivek v prostoru. Považujeme toto vyjádření za srozumitelnou ukázku významu parametrizace. Během kurzu analytické geometrie se žáci setkají s několika způsoby vyjádření přímky v rovině: obecnou rovnicí, parametrickým vyjádřením, rovnicí v úsekovém tvaru a pro přímky, které nejsou rovnoběžné se souřadnicovou osou y, ještě s funkčním předpisem a zápisem ve směrnicovém tvaru. Podle naší zkušenosti mnoha žákům tento přístup v zásadě nevadí, jde o jednoduché postupy, které se dokáží naučit a vykazovat jistou úspěšnost. Mnozí dokonce chápou souvislost mezi uvedenými tvary. Ale málokdo tuší, proč taková škála různých vyjádření pro jediný prostý útvar – přímku.
Teprve ukázka významu parametru při kinematickém vytvoření křivky ukazuje smysl parametrického vyjádření. Stačilo by ukázat vyjádření křivek ve dvojrozměrném prostoru, ale máme-li nástroj, který nám ukáže křivku v prostoru, tím lépe.
V hodinách analytické geometrie na takové rozšíření obvykle čas není. Ukázali jsme ho ale v kurzu programování, kde se tím význam analytické geometrie objevil ve zcela novém pohledu.
