Previous Up Next

Chapter 8  Rozvíjení prostorové představivosti
…to nejdůležitější nakonec

Hlavní motivací pro vznik této práce, důvodem, proč jsme se začali zabývat myšlenkou zpracovat Stereometrii trochu jinak, byla snaha najít a vytvořit další nástroje k podpoře prostorové představivosti. Zkušenosti s dlouhodobě nízkou (a bohužel dále se snižující) schopností a zejména ochotou žáků k prostorovému myšlení a řešení problémů nejen v hodinách stereometrie nás vedly k hledání efektivnějších a atraktivnějších didaktických metod. Naše přesvědčení je, že žák se nejspíš dobře obejde bez dovednosti bez zaváhání vyjmenovat a narýsovat do sešitu všechny možnosti vzájemné polohy tří rovin v prostoru, ale neobejde se bez představ a schopností, které ke splnění takového úkolu potřebuje. Rozvoj prostorové představivosti považujeme za hlavní cíl učitelova snažení a prostředky, jimiž bude cíle dosaženo, za podstatné mnohem méně.

Různé dovednosti souhrnně označované pojmem prostorová představivost je třeba stimulovat různými prostředky. Velice důležitá je přitom schopnost a vůle žáka udržet po delší dobu soustředění na stereometrický problém, schopnost souvisle se jím zabývat a postupně odvozovat řešení problému. Při přemýšlení o rovinném problému si obvykle kreslíme. Při řešení problému prostorového často nebudeme schopni problém zachytit srozumitelným obrázkem. Musíme více spoléhat na svou představivost. Hlavní motivací celé práce byla snaha najít, vytvořit a zpracovat nové a pokud možno efektivní možnosti, jak žákovskou prostorovou představivost cvičit a rozvíjet. A budiž řečeno, že při celém našem úsilí jsme – zcela mimochodem – značně cvičili a rozvíjeli prostorovou představivost vlastní.

Rozvoji prostorové představivosti jsme vymezili samostatnou kapitolu, protože k jejímu rozvíjení u žáků chce celá tato práce přispět. Věnujeme jí samostatnou kapitolu nejen proto, že si ji zaslouží, ale také proto, že představivost je potřeba rozvíjet stále, průběžně a zdroje potřebujeme mít snadno po ruce a ne poztrácené a skryté v jiném textu.

Bylo by velkým omylem domnívat se, že dokážeme žákovskou prostorovou představivost rozvinout během tříměsíčního1 kurzu středoškolské stereometrie. Zdráháme se říci, že na střední škole je už pozdě – byť optimální věk pro rozvoj těchto schopností je přibližně o jeden stupeň školy níže – jen musíme počítat s neochotou některých žáků učit se novým myšlenkovým dovednostem. Prostorovou představivost musíme cvičit postupně a v mnohem delším časovém úseku.




Když ony jsou ty stereometrické úlohy těžké...




To opravdu bývají. Tak si zatím můžeme hrát. Prostorová představivost je souhrn schopností neverbálních. Prostorovou představivost samozřejmě rozvíjejí úvahy, kterým je kurs stereometrie věnován. Není však třeba čekat na kurs stereometrie, není třeba čekat ani na hodiny matematiky. Prostorová představivost se nejlépe cvičí manipulací a pohybem v přirozeném okolním prostředí. A když už jsme ve škole – rozvíjí se také nejrůznějšími hrami a kvízy, které žáci obvykle rádi přijímají. Ideální jsou suplované hodiny a nejrůznější příležitosti, kdy bývá obtížné přimět žáky k soustředěné školní práci.

Není-li učitel zrovna geometrický nadšenec – a to zajisté není jeho povinnost – neznamená to, že nemůže žáky vést ke cvičení prostorové představivosti. Mohou mu v tom pomoci různé hry, hádanky a kvízy. Pokud dostane navíc nástroj, kterým lze rychle a snadno získat správné řešení (nejen jako hotovou odpověď, ale včetně postupu a odpovědí na nejrůznější proč a jak to, že ne), nemusí se obávat záludných žákovských otázek ani ztrácet čas vlastním řešením neznámých (nebo pracných) úloh. Vyřešit si hádanku je jistě příjemné a osvěžující, ale ne vždy na to máme dost času.

Po krátké podkapitole věnované vymezení pojmu prostorová představivost následují v tomto textu dvě podkapitoly s didaktickými materiály, které jsme připravili cíleně pro podporu prostorové představivosti a které – kromě názvů základních těles – nemají s matematikou na první pohled mnoho společného. V první části nabídneme několik modelů vytvořených v prostředí Cabri 3D, v části druhé předkládáme nově vytvořené samostatné aplikace.

8.1  Prostorová představivost

Věnujme se zde stručně vymezení pojmu prostorová představivost. Jde o pojem, který v řeči běžně užíváme a v rovině obecné komunikace mu rozumíme, jeho přesné vymezení však není zcela jednoduché. Psychologové se ve svých definicích shodují v tom, že nejde o unitární schopnost, ale komplexní systém, soubor mnoha schopností a dovedností, jejichž jádrem je schopnost orientace a pohybu v trojrozměrném prostoru. V uváděných členěních prostorové představivosti na subdomény se shodně objevují dva faktory: schopnost přijímat prostorové vztahy a schopnost vizualizace.

D. F. Lohman: Prostorovou představivost lze definovat jako schopnost vytvářet, uchovávat, vybavovat a přetvářet dobře strukturované vizuální obrazy. Nejde o jedinou schopnost. Ve skutečnosti jde o několik prostorových schopností, z nichž každá ovlivňuje jiné aspekty vytváření, uchovávání, vybavování a transformace obrazu. (přeloženo z [19])

Všeobecné a přehledné shrnutí vymezení pojmů spojených s prostorovou představivostí podává ve své knize [20] J. Molnár. Sám definuje prostorovou představivost jako sadu schopností souvisejících s reprodukcí, předvídáním, statickým a dynamickým zobrazením tvarů, vlastností těles a vztahů mezi nimi. Připomíná fakt, že k vytvoření základní představy o prostoru je třeba sloučit velké množství dílčích informací a vjemů o okolním světě. Důležitou roli přitom hraje vizuální percepce.

Výzkumem prostorové představivosti, její souvislostí s g-faktorem2, faktorovou analýzou mentálních schopností (které někteří autoří dělí na verbální, matematické a prostorové), rozdílů mezi muži a ženami a dalšími aspekty se zabývá mnoho psychologů a pedagogů. U nás se prostorové představivosti a geometrické a matematické představivosti a didaktickému využití zmíněných poznatků věnovali či věnují například František Kuřina, Josef Molnár, Jaroslav Perný, na Slovensku Milan Hejný, Zuzana Juščáková, Ladislav Košč.

Psychologové se shodují v tom, že první věkovou etapou, kdy probíhá intenzivní rozvoj prostorové představivosti spojený se základními geometrickými představami, je předškolní věk kolem pěti let, období spontánní stereometrie rozvíjené hrou se stavebnicí a manipulací s hmotnými objekty. Druhé období, v němž se podle výše jmenovaných autorů vytváří vědomí o dělení prostoru, vyplnění a ohraničení prostoru, pohybu v prostoru a rozlišení dimenze prostoru, je období mladšího školního věku. Pokud se rozvoj prostorové představivosti nepodnítí ani ve věku mezi 10–15 roky, kdy už může k rozvoji představivosti přispět škola, objevují se na vyšším stupni školy známky nedostatečně rozvinuté prostorové představivosti, s nimiž se pak jako učitelé velmi pracně potýkáme.

Na závěr této krátké zmínky připomeňme pro učitele matematiky podstatnou skutečnost, že úroveň prostorové představivosti nemusí být v souladu s verbálními schopnostmi (verbální inteligencí) a dokonce ani s úrovní matematické představivosti.

8.2  Modely a hádanky

Nejrůznější modely, hry, hádanky, kvízy a vystřihovánky významně pomáhají budovat dětskou prostorovou představivost. Velkou zásobu inspirativních námětů, modelů a didaktických materiálů a zpracování uvedené problematiky lze najít například v [25] a [26]. My přikládáme několik počítačových modelů. V této části textu najdete pouze úlohy. Jejich řešení je skryto v přiložených modelech. Některé modely popíšeme podrobněji, protože slouží ke generování a tisku kvízových úloh obdobně jako modely uvedené v části 7.2.

Úloha 1   Kolik krychliček o hraně délky 1 potřebujete k tomu, abyste je dokázali rozmístit (bez ohledu na gravitaci) tak, aby prostor krychle o hraně délky 4 byl zcela neprůhledný při pohledu ze všech směrů kolmých na stěny krychle (krychle se jeví jako plná při pohledu zepředu, shora i zprava)? Zkuste si rozmístit požadovaným způsobem krychličky v modelu skladac.

Poznámka 1: Stačí 16 krychliček a jedno rozmístění je v modelu skladres a na obr. 8.1.

Poznámka 2: Obecněji pro krychli o hraně n stačí n2 krychliček.

Poznámka 3: Možná vidíte souvislost s tzv. latinskými čtverci.

Úloha 2   Kolik krychliček o hraně délky 1, na něž je rozdělena krychle o hraně délky 4, protne rovina kolmá na tělesovou úhlopříčku krychle procházející zvoleným bodem P? Odhadněte největší možný počet ze všech možných poloh bodu P. Potom svou představu porovnejte s modelem krychlic. Měňte polohu bodu P a pozorujte – vidíte to, co jste si představovali? (model kryc34, obrázek 8.2)

Poznámka 1: Model je dynamický, polohu přímky, k níž je daná rovina kolmá, můžete měnit, a tak pro začátek můžete žákům položit dotaz na řez rovinou kolmou ke stěnové úhlopříčce (model krycpl).

Poznámka 2: Formulujte úlohu naopak obecněji, poloha přímky je zcela libovolná – v kolika krychličkách může rovina protínat krychli? Hledejte maximální počet. (model kryc35)


Figure 8.1: Úloha 1

Figure 8.2: Úloha 2



Zkuste obrácenou úlohu:

Úloha 3   Z dané krychle o hraně délky 4 potřebujeme odetnout rovinným řezem část tak, aby řez procházel daným bodem P. Kolik krychliček o hraně délky 1, na něž je rozdělena krychle, bude řezem poškozeno? Hledejte minimální počet. (model rezbodem)
Úloha 4   Krabička ve tvaru kvádru je symetricky převázána přes rohy stuhou. Zakreslete takovou polohu stuhy, ve které se nebude posouvat, a tudíž se s krabičky nesesmekne. Potom svou představu porovnejte s modelem stuha.

Poznámka 1: Model je dynamický, rozměry kvádru – krabičky – je možno měnit pomocí označeného ovladače. Pomocí ovladače Rot rozvineme síť kvádru. Lomená čára požadované vlastnosti musí přejít v úsečku.

Poznámka 2: Úloha je převzata z brožury [15]. Jde o méně obvyklou formulaci úloh o nejkratší cestě v síti. V uvedeném svazku je možno najít další, převážně obtížnější úlohy.

Poznámka 3: Model je sestaven pro řešení úlohy, v níž krabička leží na své největší stěně, výška je nejmenší rozměr.


V podkapitole 7.2 v části sec:sablony jsme předložili modely, které mohou sloužit k tvorbě pracovních listů. Nyní k nim přidáme ještě dva modely, které umožní tisknout zadání kvízových úloh. Uvádíme ukázkovou formulaci zadání kvízu včetně obrázku.

Úloha 5   Krychle ABCDABCD se postupně překlápí podle některé podstavné hrany (okolo některé ze čtyř hran, které právě leží na podložce). Na krychli je namotaný drát ve tvaru lomené čáry s vrcholy na hranách krychle tak, jak vidíte na obrázku 8.3. Nakreslete polohu drátu a popište polohu vrcholů krychle v nové poloze, do které přejde po sérii pohybů: jednou k pozorovateli, jednou doprava (z pohledu pozorovatele) a opět jednou dopředu k pozorovateli.

Figure 8.3: Úloha 5 – zadání

Figure 8.4: Správné řešení


Model kviz01 dovolí složit až tři postupná otočení. Osy otáčení a úhly jsou volitelné, model je variabilnější než požaduje zadání úlohy, ale to je už dost obtížné v uvedeném znění. Tato úloha měla ze všech testů, které jsme postupně zadávali žákům prvního ročníku čtyřletého gymnázia, nejnižší procento správných řešení. V modelech kviz01kviz02 jsou připravené dvě varianty úlohy. Také v tomto modelu můžete měnit polohu bodů lomené čáry pomocí příkazu Předefinovat.


Další test se zaměřuje na schopnost představy pohledu na těleso při jiné vzájemné poloze krychle a pozorovatele. Danou krychli, která vždy leží na vodorovné podložce některou stěnou čelně k pozorovateli (představte si krychli s různými obrázky na stěnách), může pozorovatel vidět ve 24 různých polohách (předpokládáme, že máme například předepsané volné rovnoběžné promítání, rozhodující je určení čelní stěny a čtyři polohy pozorovatele vůči ní). Součástí zadání je obrázek 8.5. Pro podporu tvorby zadání uvádíme dva modely – jeden, ve kterém vytvoříme současně zadání i řešení (modely krychle, krychla) a druhý, v němž změníme pohled a model uložíme/vytiskneme dvakrát: jednou se zobrazením všech prvků (řešení) a v druhém některé prvky skryjeme a tak vytvoříme zadání. Dvě dvojice řešení–zadání jsou tvořeny modely krychleakrychlat, krychlebkrychlbt.

Úloha 6   Na obrázku 8.5 je zobrazena krychle, k jejímž hranám je pevně a nepohyblivě připevněna menší krychle, která má na každé dvojici protilehlých stěn stejný vzor. Se sestavou jsme kouleli a skončila v nové poloze, kterou vidíte na obrázku 8.6. Doplňte v něm chybějící vzory na stěnách malé krychle a chybějící popis vrcholů krychle.

Figure 8.5: Úloha 6 – původní poloha sestavy

Figure 8.6: Správné řešení a varianta zadání


Úloha 7   Rozhodněte, zda dvě zobrazená tělesa mohou být částmi z nichž lze beze zbytku a bez překrývání složit krychli o hraně délky 4.

Modely k této úloze sledují tvorbu zadání: Nejprve vytvoříme velkou krychli složením malých. Dáváme přitom pozor, abychom omylem neskryli některou krychličku (model s1dopln). Potom některé krychličky skryjeme a model uložíme (model s2dopln). Příkazem Vybrat vše označíme celou scénu a příkazem Skrýt/Zobrazit viditelnost převrátíme. Uložíme (model s3dopln). Pomocí schránky zkopírujeme obě části do jednoho modelu a případně pozměníme viditelnost některých krychliček, pokud chceme, aby odpověď na otázku byla záporná (model s1dopln).

8.3  Samostatné aplikace rozvíjející prostorovou
představivost

Zvýšená aktivita žáků v hodinách, kdy jsme předváděli geometrické vztahy, řešili jednoduché problémy či cvičili dovednosti s pomocí geometrického software, nás vedla ke hledání dalších aplikací, které by žáky motivovaly a pomáhaly jim jednak ve stereometrických úvahách a jednak v problémech typických v deskriptivní geometrii. Pokud mohli žáci sami modelovat, zamýšleli se nad problémem mnohem důkladněji než při pouhé demonstraci problému učitelem. To nás vedlo nejprve k přípravě úloh pro samostatnou práci žáků v dostupných systémech. Někteří žáci přitom bojovali s ovládáním systému samého či s podstatou zadaného geometrického problému, jiní mezi sebou soutěžili v rychlosti – jak v rychlosti řešení úloh, tak v tom, kdo dříve nějak přelstí počítač. Tehdy vznikl nápad vytvořit vlastní aplikaci, program, který by měl dostatečně jednoduché ovládání, se kterým by si mohli samostatně a bez pomoci či dohledu učitele hrát a přitom se cvičili v konkrétních dovednostech.

Postupně jsme společně se školitelem vytvořili několik takových aplikací. Jsou to stavebnice a hry, které málo připomínají matematiku, ale ve kterých je k vyřešení předkládaných úkolů nezbytné soustředit se na prostorový problém a efektivně využít prostorovou představivost. Díky možnosti získat okamžitě zpětnou vazbu, informaci o správnosti řešení či objasnění chyby, si žáci prostorovou představivost při hře posilují.

Programy, které zde předkládáme, byly vytvořeny pro podporu konkrétních schopností žáků a jsou učitelům i jejich žákům volně k dispozici. Většina trojrozměrných scén je naprogramována v jazyce VRML, k jejich spuštění je tedy třeba mít nainstalovaný nějaký VRML prohlížeč či plug-in webového prohlížeče. Funkčnost všech aplikací je ověřena pro prohlížeč MSIE a VRML prohlížeč Cortona, který je k volnému stažení na oficiálním webu výrobce: http://www.cortona3d.com/cortona. Další aplikace potřebuje pouze přehrávač aplikací Flash.

Skutečné trojrozměrné modely dávají dětem nenahraditelnou možnost manipulace a zkoumání prostorové situace nejen zrakem, ale i hmatem. Jsou však omezené fyzikálními možnostmi a bývají obtížně modifikovatelné. Naproti tomu modely virtuální v sobě již zahrnují jistý stupeň abstrakce, nutí k manipulaci v prostoru pomocí myši nebo klávesnice při (zatím) rovinném zobrazení na ploše monitoru. Mají velikou výhodu ve své variabilitě a v přitažlivosti, kterou pro děti práce s počítačem má. Uvedené hříčky vznikaly dlouhou dobu z potřeb zpřístupnit žákům gymnázia manipulaci s trojrozměrnou scénou. Je v nich tedy to, co v dané době neposkytovaly jiné dostupné školské programy. Popis uvádíme např. v [6].

8.3.1  Stavebnice

Virtuální počítačovou stavebnici z kostek jsme původně připravovali pro žáky nižšího gymnázia. K našemu překvapení si s ní nakonec s chutí hráli i studenti předmaturitního ročníku při přípravě na téma Analytická geometrie. Hra byla skutečně inspirovaná klasickou dřevěnou stavebnicí s barevnými dřevěnými krychličkami, hranolky, střechami a válečky (zdrobněliny snad zde, při popisu dětské stavebnice, nejsou nepatřičné). Dílky stejných tvarů se staly základem virtuální stavebnice.

Stavebnice v sobě spojuje formální, abstraktní popis prostorové scény s jejím interaktivním zobrazením. Formou hry připraví žáky na práci v trojrozměrné scéně a naučí je orientovat se v prostoru a udávat polohu pomocí pravoúhlé soustavy souřadnic.

Žáci se ve škole nejprve setkají se soustavou souřadnic v rovině. Zakreslují body do roviny ortonormálních souřadnic Oxy. V tu dobu už ale dokáží přirozeně popsat i pohyb v prostoru. Pohyb ve třech navzájem kolmých směrech (vlevo–vpravo, dopředu–dozadu, nahoru–dolů) je pro děti zcela samozřejmý. Například: musíme jít o dva kroky doprava a o jeden dolů nebo střechu potřebujeme posunout o jeden dílek výš. Navržený software žádné jiné znalosti ani představy nevyžaduje. Podobně lze udávat vzájemnou polohu dvou kostek či rozměry kvádru (nebo jiných těles). Využití soustavy souřadnic je zde účinnou a pochopitelnou metodou.

Jakkoli je manipulace se skutečnými stavebnicemi nenahraditelná a hmatová zkušenost k vytváření vědomí o prostoru nezbytná, bývá použití dřevěné stavebnice ve třídě komplikované a staršími žáky může být vnímáno jako hra jejich věku nedůstojná. S počítačem jsou si však ochotni hrát kdykoli. Virtuální stavebnice může navíc oproti stavebnici hmotné poskytnout možnosti nezatížené fyzikálními zákony – kostky nepadají, mohou levitovat apod.


Figure 8.7: Prostředí Stavebnice


Stavebnice tedy umožňuje stavět scény – hrady z kostek. Se sestavou však stavitel nemanipuluje přímo, ale dílky (kostky), které do scény vloží, vybírá z nabízených tvarů. Kostky umisťuje do zvolené soustavy souřadnic. Zvolí tvar dílku a určí jeho velikost a polohu v souřadnicích x, y, z. Navíc, pokud se vlivem změny rozměrů změní základní typ dílku (např. krychle se změní v obecný kvádr), program na to stavitele upozorní. Prostředí editoru, v němž žáci scénu tvoří, vidíte na obrázku 8.7.

Program umožňuje vybrat obvyklé rozvržení soustavy souřadnic. To totiž není zcela jednotné. Ve škole se někdy dává přednost soustavě levotočivé, jindy soustavě pravotočivé a není také zcela jednotné, která souřadnicová osa popisuje svislý směr. Při zvažování toho, jak zvolit soustavu souřadnic pro prostředí programu, jsme se nakonec rozhodli umožnit volbu uživateli.

Žák si může sestavenou scénu kdykoli během stavby prohlížet ve virtuálním prostředí (viz obr. 8.88.9). Dokonce v něm může jednotlivými dílky pohybovat, otáčet si je a prohlížet, stejně jako celou scénu. Vybuduje si tak představu o vztahu formálního popisu polohy v pravoúhlé soustavě souřadnic a popisované scény. Změny, které provede ve scéně ručně se však do scény neuloží. V interaktivním prostředí není možné ani vkládat do scény nové dílky ani je ze scény odstraňovat. To je možné jen ve formálním, textovém prostředí. Po návratu do hlavního – editačního – okna hry najde žák scénu v nezměněné podobě.


Figure 8.8: Virtuální scéna – hrad

Figure 8.9: Kostelík


Vytvořenou scénu je možno uložit (uloží se soubor s příponou wrl, tedy zápis scény ve formátu VRML), stejně jako načíst dříve uloženou scénu k dalším úpravám. Je tedy možné využívat program i pro samostatnou domácí práci žáků. Výsledky takové domácí práce jsou barevné, čisté, nepomačkané a nejsou těžké do tašky. Jeden z hradů, které během 30 minut od prvého seznámení s programem žáci kvarty sestavili, vidíte na obrázku 8.8, obrázek 8.9 ukazuje práci šestnáctiletého žáka v jedné hodině.

Pokud žákům předložíme k sestavení konkrétní předlohu, můžeme posuzovat správnost postupu. Nakonec je ale dobré nechat žáky také tvořit sestavy dle vlastní fantazie.

Připravili jsme také variantu Stavebnice, v níž mohou žáci nastavit i otočení dílků kolem směrů souřadnicových os, jak je vidět na obr. 8.10. Tato varianta je podstatně náročnější na představivost a nedoporučujeme její použití v úvodních hodinách. Vznikla však na přání žáků, které začal při jejich tvořivosti omezený rozsah možností programu omezovat, její využití – ač překračuje rámec probíraného učiva – proto doporučujeme pro pokročilejší žáky, kteří ji dokáží používat vědomě a ne pouze intuitivně a pro které bude dostatečně motivační.


Figure 8.10: Prostředí Stavebnice s otáčením

Figure 8.11: Pohled do scény


Na webu http://3dhricky.wz.cz/ nebo http://geometry.cz/ i na přiloženém CD je k dispozici připravený didaktický text ve formátu html kurzu o sedmi krátkých lekcích, který zcela nezkušené začátečníky provede prostředím a možnostmi Stavebnice.

Zatímco někteří žáci bojují s určením polohy těles v prostoru, jejich zdatnější spolužáci mohou mít dávno vytvořené komplikované stavby a stavebnice pro ně ztratí přitažlivost. Pro ně (ale nejen pro ně) jsme sestavili další program Hra, založený na podobném principu. Úkol stavitele scény je však zde jiný – a obtížnější. Netvoří scénu libovolnou, ale přesně tu, jejíž náhledy vidí.

8.3.2  Hra

Hra navazuje na Stavebnici. Vyžaduje však mnohem větší zapojení prostorové představivosti. Ta byla ve Stavebnici potřeba pro určení rozměrů a polohy dílků v soustavě souřadnic. Ve Hře už žák musí skládat a kombinovat tvary, rozhodovat o jejich vzájemné poloze. Řeší postupně předkládané úlohy. V každé úloze se objeví obrázek požadované sestavy (případně několik obrázků – pohledů z různých stran), kterou však žák tentokrát nestaví z libovolných kostiček, ale pouze z těch, jejichž seznam vidí v okně Hry. Na rozdíl od Stavebnice nemůže připravené dílky nijak měnit. Musí předloženou sestavu poskládat jen z těch dílků, které dostal k dispozici. Určuje pouze jejich umístění, nemůže je ani otáčet. Prostředí programu vidíme na obrázku 8.12.

Kdykoli v průběhu řešení si může řešitel zobrazit náhled dosud sestavené scény (obr. 8.13). Počet takových kontrolních náhledů se však eviduje. To má žáky motivovat, aby se snažili co největší část úkolu vyřešit pouze pomocí vlastní představy o vzájemné poloze dílků. Program zapisuje informace o postupu řešení do textového souboru, který slouží učiteli pro hodnocení. Do tohoto souboru program zapíše čas, který uživatel potřeboval k řešení, počet neúspěšných pokusů včetně počtu pomocných náhledů využitých při řešení úlohy, případně i to, že úloha dosud nebyla vyřešena a byla ukončena bez dosažení úspěchu. Tento záznam (textový soubor) je pak k dispozici učiteli.


Figure 8.12: Prostředí Hry

Figure 8.13: Náhled scény s řešením


Hra obsahuje připravenou sadu úloh. Sada, kterou jsme sestavili, je členěna od jednoduchých úloh až po úlohy, které mají charakter hlavolamů – viz obr. 8.14. Hru je proto možno využít jak pro mladší žáky, tak i pro maturanty, případně pro kohokoliv, kdo si myslí, že je schopen snadno si představit vzájemnou polohu těles v prostoru a složit daný tvar z jednoduchých částí. Obtížné úlohy ověří technickou a tvarovou představivost hráče.


Figure 8.14: Úloha – hlavolam


Každá úloha je řešitelná. Přitom není nutné, aby do zobrazené sestavy patřily všechny nabídnuté dílky. Proto u každého dílku žák určuje, zda dílek použít a – pokud ano – kam ho umístit. Úlohy, v nichž potřebujeme použít všechny nabídnuté dílky, jsou snazší. Některé úlohy mají více možných řešení. U takových úloh můžeme vyzvat nejúspěšnější řešitele, aby se pokusili najít řešení všechna.

Prostředí virtuální reality – a spolu s ním i naše StavebniceHra umožňuje fyzicky neproveditelné akce: je možné sestavit scénu tak, že se v ní její kostky prolínají. Program takovou scénu sestavit dovolí, zobrazí ji, ale takové řešení nikdy neoznačí jako správné. Zadání úloh obsahuje požadavek, aby se kostičky neprolínaly.

Metodický návod k využití Stavebnice a Hry

Oba programy – Stavebnice a Hra – na sebe navazují jak vzhledem prostředí, tak způsobem tvorby scény. Jejich didaktické určení je ale odlišné. Stavebnice je určena ke cvičení práce se soustavou souřadnic, určení tvaru a pojmenování základních těles a určení jejich polohy v prostoru. Hra už pak přímo rozvíjí prostorovou představivost ve směru schopnosti skládání tvarů, představy o výsledném tvaru a paměť polohy a tvaru, tzv. schopnost mentální manipulace a technickou tvořivost.

Pro souvislé cvičení s programy jsme v [5] připravili plán pěti vyučovacích hodin (ne nutně celých), do nichž práce s programem zasáhne.


Poznámka: Plán nepředpokládá využití verze programu, která umožňuje nastavit otočení jednotlivých dílků. Tuto možnost považujeme – jak bylo uvedeno výše – za nadstavbovou.

Hodina první – Stavebnice

Předpokládaná doba práce: celá vyučovací hodina
Pro první hodinu zvolíme program Stavebnice. Učitel nejprve vysvětlí, z čeho se skládá připravený trojrozměrný svět, ukáže ovládání programu a sestaví se žáky jednoduchou scénu, na které vysvětlí význam souřadnic. Kostičky mají volitelnou nejen polohu a barvu, ale i velikost. Učitel upozorní na automatickou změnu názvu dílku, pokud se vlivem změny rozměrů stane například z krychle kvádr či naopak. Program tak podporuje užívání správné terminologie.

Po sestavení scény ji učitel se žáky zobrazí a ukáže možnosti manipulace ve virtuální scéně. Pro větší názornost program umožňuje v zobrazené scéně dílky přesouvat a otáčet, prohlížet a zkoumat jejich tvar. Učitel předvede tuto manipulaci a práci s prohlížečem – přiblížení scény, otočení scénou.

Ve druhé části hodiny předloží učitel žákům předem připravený náhled sestavy, kterou mají za úkol samostatně vytvořit. Porovnáním náhledu vlastní práce s předlohou žáci sami ověří správnost vlastního postupu.

V závěru hodiny učitel vyzve žáky, aby za domácí úkol vytvořili sestavu dle vlastní fantazie. Program umožňuje ukládat a načítat vytvořené scény (soubory ve formátu VRML). Při kontrole domácího cvičení v další hodině mohou žáci vlastní doma uložené scény otevřít v programu a zobrazit. Scény je možno zobrazit v prohlížeči i mimo program Stavebnice. Žáci mají možnost porovnat výsledek vlastního snažení se scénami spolužáků. Nabízí se vyhodnocení nejdůmyslnější či nejestetičtější sestavy.

Hodina druhá – Hra

Předpokládaná doba práce: celá vyučovací hodina
Předvedeme práci v druhém z programů – Hře, kde už žáci netvoří volné kreace, ale mají za úkol sestavit přesně tu sestavu, kterou vidí v náhledu (či náhledech). Učitel upozorní na změny v ovládání oproti Stavebnici, zejména na to, že není možné měnit rozměry a barvy připravených dílků.

Učitel předvede žákům řešení některé z úloh 01–03 a vyhodnocení správnosti řešení včetně možnosti zobrazení nápovědného náhledu. Poté žáci samostatně řeší některé z úloh 11–15. Pokud se domnívají, že úlohu vyřešili, nechají své řešení vyhodnotit. V případě neúspěchu se mohou rozhodnout, zda využijí nabídnutou nápovědu a nechají si zobrazit scénu, kterou dosud sestavili. Porovnání se zadáním jim pomůže rozhodnout, jak sestavu opravit. Poté mohou v řešení pokračovat.

Učitel může získat představu o úspěšnosti jednotlivých žáků z protokolu o průběhu hry zapsaného do zvláštního textového souboru loghra.txt v pracovní složce každého žáka.

Jako domácí úkol zadá učitel žákům některé nevyřešené úlohy, případně úlohu 20.

Hodina třetí

Předpokládaná doba práce: 10–20 minut
V dalších vyučovacích hodinách již učitel využívá Hru jen v první části hodiny, k obrácení pozornosti žáků k prostorovým vztahům před výkladem dalšího učiva.

Po kontrole nepovinného domácího úkolu – úlohy 20 – učitel zadá žákům k řešení některou z úloh 21–24 a poté jednu nebo dvě z úloh 25–28. Ve druhé sadě úloh už zadání obsahuje některé nadbytečné dílky. Žáci musí vybrat, které dílky použít, aby se sestava přesně shodovala se zadáním (v rozměrech i barvě). Úlohy také vyžadují více pozornosti při umisťování kostiček.

Hodina čtvrtá

Předpokládaná doba práce: 10–20 minut
Úlohy ve třetí sadě (úlohy, jejichž čísla začínají 3) mají více správných řešení. Stačí nalézt jedno z nich. Obtížnost úloh (opět vyšší než v sadě předchozí) spočívá v tom, že sestavy vypadají jako jednolité bloky a z náhledů sestav není zřejmé jejich rozdělení na dílky – cihly. Žák si musí zadaný tvar v představě rozdělit sám (podle toho, jaké cihly má k dispozici) a poté dílky správně umístit.

Podle úspěšnosti žáků vypozorované v předchozí hodině učitel zadá žákům k vyřešení libovolné z úloh 31–34 (lehčí) nebo z úloh 35–37 (těžší). Je třeba počítat s tím, že k vyřešení jedné úlohy budou žáci potřebovat nejméně 5 minut.

Hodina pátá – hlavolamy3

Předpokládaná doba práce: 10–20 minut
Pro pokročilé. Třetí a čtvrtá sada úloh by mohla sloužit pro cvičení prostorové, konstrukční představivosti i pro žáky posledních ročníků střední školy či pro dospělé. Úlohy naší poslední skupiny už mají spíše charakter hlavolamů. Výsledný útvar nemusí být zadanými pohledy jednoznačně určen. Neviditelné části útvaru mohou a nemusí obsahovat výplň a teprve nabídka dílků umožní rozhodnout o jeho možném výsledném tvaru a o tom, jak těleso či sestavu složit. Úlohy 41–44 opět mohou mít více správných řešení. Při pomocném prohlížení doposud sestavené scény (v případě neúspěchu či bezradnosti) může žák nechat zobrazit obrysy cihel ve vlastním návrhu. Ověří si tak mimo jiné to, zda neumístil dílky přes sebe. To je možné, program na to neupozorňuje, ale zadání to zakazuje.

8.3.3  Domino

Paměť polohy a manipulaci s objekty v prostoru pomocí připravených ovladačů cvičí samostatná webová aplikace – hra, kterou je možné hrát buď online přímo ze stránek http://3dhricky.wz.cz/ nebo z lokálního disku. Hra vznikla jako oddychová aktivita, která vede hráče k tomu, aby si pamatoval vzory (čísla) na stěnách krychlí a tuto informaci uchoval i při pohybu krychle v prostoru. Didaktickým cílem Domina je kromě tréninku prostorové paměti a paměti polohy také manipulace a orientace v trojrozměrné virtuální scéně. Zejména pohyb vpřed–vzad působí některým žákům při prvních kontaktech s trojrozměrným virtuálním prostředím potíže.

Inspirací k modelu virtuálního prostorového Domina byly pracovní listy a papírové skládačky PhDr. Aleny Šarounové, CSc. z MFF UK a její námět domina v prostoru.

Virtuální podoba dovoluje umisťovat krychličky libovolně do prostoru bez omezení fyzikálními zákony. Při hře žáci přesouvají jednotlivé kostky Domina (krychle s čísly na stěnách) pomocí zobrazených manipulačních šipek ve scéně či pomocí kláves na klávesnici počítače. Kostkami mohou také pomocí myši volně otáčet a prohlížet si tak hodnoty na jejich stěnách. Prostředí hry ukazuje obrázek 8.15.


Figure 8.15: Domino – soutěžní variata


Cílem hry je nasbírat co nejvíce bodů slepením daných krychlí tak, aby se dotýkaly stěnami označenými stejným číslem. Pokud se podaří umístit krychli tak, že sousedí s několika dalšími krychlemi a vícekrát se dotýká stěnami se shodným ohodnocením, dosažené skóre se zvyšuje (za jednu shodnou stěnu získá hráč 1 bod, za přilepení krychle, která se se sousedními shoduje ve dvou dotýkajících se stěnách 3 body, dále 7 bodů…). Tato hra tedy motivuje k přípravě krychliček ve scéně, jejich natočení a představě jejich následného umístění mezi ostatní. Již upevněnou krychlí není možné dále manipulovat.

K dispozici jsou čtyři varianty hry. V základní variantě hraje hru jeden hráč, který si nechává náhodně sestavit scénu se zvoleným počtem krychliček. Její kostky se pak snaží co nejefektivněji sestavit do jednoho bloku. Druhá varianta hry obsahuje navíc časové omezení. Po uplynutí zvoleného času scéna zmizí a zůstane viditelný pouze hlavní panel s dosaženým skóre.

Ve srovnávací či soutěžní variantě nejsou označení stěn krychliček generována náhodně, ale jsou předem připravena. Žáci tedy mohou soutěžit, kdo sestaví kostky nejlépe. Existuje také verze, kdy proti sobě hrají dva hráči. Oba soupeří se střídají v tazích. Skóre se počítá každému zvlášť. V každém tahu vidí (oba) pouze kostky hráče, který je právě na tahu. Protože není možné umístit dvě kostky na stejné místo, mohou hráči při hře taktizovat. Po přilepení zvolené kostky se hráči přičtou body za shodu bodů jejích stěn s body stěn všech dříve ukotvených (tedy i soupeřových) kostek, v nichž se jich kostka dotýká. V této variantě se hodnocení na stěnách kostek generují náhodně v každé nové hře. Počet kostek lze zvolit (do dvaceti kostek pro každého hráče). Omezení počtu kostek ve hře vychází pouze z požadavku přehlednosti scény.

8.3.4  Kostka

Výkonnější didaktický nástroj představuje další připravená hra – Kostka. Je to jednak interaktivní pomůcka, která ukazuje rozvíjení sítě krychle, jednak pomůcka pro tvorbu testů či kvízů a tisk didaktických materiálů, podobně jako modely v části 7.2. Je určena k procvičování paměti a představy polohy tělesa v prostoru. Pracuje se sítěmi krychle a se stopou po odvalování krychle. Úlohy o sítích patří ke klasickým úlohám věnovaným rozvoji prostorové představivosti, s jakými se setkáváme v kvízech i učebnicích, jako například: V pohledu (pohledech) je zobrazena krychle. Nakreslete její rozvinutou síť se správnou orientací vzorů na jejích stěnách. Krychlí bývá většinou hrací kostka. Sestavení a příprava takové úlohy jsou pro učitele pracné a časově náročné. Pokud navíc učitel nemá k dispozici prostorový model, který odpovídá zadané úloze, bývá obtížné přesvědčit žáky o správnosti či nesprávnosti jejich řešení. Bez hmotné kostky s příslušnými vzory, kterou by mohl před žákem na lavici odvalovat, se musí odvolávat jen na žákovu představivost. Učebnice obvykle radí žákům, kteří úlohu nemohou vyřešit, aby si k zobrazené krychli sestrojili papírový model.


Figure 8.16: Různé krychle pro rozvinutí sítě


Program Kostka je prostředkem pro tvorbu takových úloh. Umožní učiteli nebo interaktivně přímo žákovi zobrazit krychli s volitelnými obrázky na stěnách. (Různé možnosti vidíte na obrázku 8.16.) Zahrnuje v sobě jednak možnost interaktivně vytvořit vlastní zadání, jednak možnost prozkoumání virtuálního modelu a dále kontrolu správnosti řešení plynulým rozvíjením sítě.

Volba vzorů na stěnách a prostředí interaktivní scény

V hlavním okně programu (obr. 8.17) si uživatel zvolí vzhled stěn krychle. Může vybírat z připravených obrázků. Ty pak může ještě otočit do jedné ze čtyř výchozích poloh. Vzhled sítě může kdykoliv během práce změnit. Připravené rozvržení je možné uložit (jako VRML model) a později znovu načíst. Takový soubor lze zobrazit i jako samostatnou VRML scému mimo prostředí programu.

Zobrazení krychle v interaktivní scéně je volitelné stejně jako možnost krychlí otáčet. Je tedy možné dívat se na krychli pouze v tzv. základních pohledech (zepředu, zezadu, zleva, zprava, shora a zdola) nebo s ní volně otáčet a zobrazit ji zároveň v opačném směru pohledu (obr. 8.18). Po kliknutí myší na zvolenou stěnu se síť krychle rozvine vždy do jednoho z křížových tvarů, který má zvolenou stěnu uprostřed kříže (obr. 8.19). Podobně lze síť krychle rozvinout od hrany, v níž krychle pukne.

Krychle, jejíž síť se v interaktivním modelu rozvíjí, přitom může ale nemusí mít vzory na svých stěnách viditelné. Pokud je skryjeme, vzniká interaktivní úloha pro žáka – dokreslit do rozvinuté sítě (do jejího překresleného obrázku na papíře) správně vzory na jednotlivých stěnách. Přitom požadujeme nejen správné umístění obrázků do jednotlivých čtverců sítě, ale i jejich správné otočení. Po dokončení úkolu může žák vzory na stěnách virtuální krychle zobrazit a ověřit své řešení. Může také nechat zopakovat rozvinutí a při zobrazených vzorech na stěnách krychle sledovat pohyb jednotlivých čtverců při rozvíjení sítě.


Figure 8.17: Prostředí editoru



Figure 8.18: Náhled scény

Figure 8.19: Náhled scény s rozvinutím


Prostředí pro tvorbu úloh

Důležitější částí programu než jeho interaktivní scéna je prostředí pro tvorbu tištěných materiálů. V tomto prostředí vycházíme z dříve připravené sestavy vzorů na stěnách kostky, kterou můžeme (byla-li uložena) kdykoliv později znovu načíst a použít pro demonstraci správného řešení kvízu v interaktivní scéně.

V prostředí pro tvorbu úloh kvízu má učitel k dispozici obrázky různě rozvinutých sítí jediné vytvořené krychle, z nichž vybírá do plochy pracovního listu jednak obrázky, které ponechá beze změny a které slouží jako zadání – ukázková síť dané krychle, jednak obrázky dalších sítí, které následně modifikuje, otáčí či skrývá v nich jednotlivá pole sítě a sestavuje zadání kvízu za pomoci takto upravených obrázků a textových polí.

Následně může kvíz vytisknout spolu se správným řešením, které program nabídne. Lze tak sestavit různé typy úloh. Úlohy, kdy žáci rozhodují, které z předložených sítí vzorové krychle jsou správné a které nikoliv, dále úlohy, v nichž podle jedné rozvinuté sítě doplňují chybějící vzory v jiných rozvinutích a nakonec úlohy, kde původní krychle není zadána jedním úplným obrázkem jedné rozvinuté sítě, ale několika obrázky neúplnými. Jeden test a jeho vzorového řešení ukazují obrázky 8.208.21.


Figure 8.20: Zadání testu

Figure 8.21: Správné řešení


Důležitou možností je možnost uložit připravené testové zadání. Ukládá se jako textový soubor – šablona, kterou program následně použije na připravenou krychli. Pokud si tedy připravíme testové zadání, vytiskneme test, uložíme testovou šablonu a později připravíme jinou výchozí krychli (zvolíme jiné obrázky na jejích stěnách či je jinak ve výchozí poloze otočíme), můžeme pro ni načíst uloženou testovou šablonu. Výsledkem je na pohled odlišné zadání testu, které je ale přesně stejné co do obtížnosti a rozvržení doplňovaných položek. Nejen tedy, že varianty stejného testu neumožňují opisování, ale dovolí porovnat dosažené výsledky žáků všech skupin bez nutnosti korekcí podle obtížnosti. Práce s vytvořením další varianty zadání spočívá pouze ve změně několika vstupních polí (nejvýše dvanácti – pro každou stěnu můžeme změnit obrázek nebo/a jeho otočení) v hlavním okně aplikace, načtení testu ze souboru a tisku (zadání i řešení). Další dvě varianty výše ovedeného kvízu z obrázku 8.20 ukazují obrázky 8.228.23.


Figure 8.22: Stejný kvíz, jiná kostka

Figure 8.23: Další varianta


Druhý typ úloh generovaných programem jsou obrázky stopy po odvalování připravené krychle po podložce. Vypadají přesně tak, jak by se otiskly do písku, pokud by vzory na stěnách krychle byly reliéfní, vystouplé ze stěn. Číslice (či jiné vzory) na takové stopě jsou proto zrcadlově převrácené.


Figure 8.24: Stopa po odvalování kostky

Figure 8.25: Řešení úlohy


V připraveném prostředí pracovního listu můžeme vytvořit jednu nebo dvě takové stopy. Tím jednak odstraňujeme jeden nedostatek prvního kvízu – nemožnost pracovat s jinou než křížovou sítí, jednak přinášíme zcela novou úlohu. Na cestě se při odvalování můžeme pohybovat všemi čtyřmi směry, můžeme se vracet po připravené cestě a následně se v libovolném bodě vydat jiným směrem, nemůžeme ale – kvůli požadavku jednoznačnosti připraveného zadání – křížit již zakreslenou stopu.

S připravenou stopou můžeme provádět stejné modifikace jako se sítěmi v prvním kvízu – můžeme skrývat políčka sítě či je otáčet. To, aby následné úpravy nevedly k nejednoznačnému zadání, však program ohlídat nemůže, to je věcí tvůrce testu. Také stopy můžeme ve formě šablon ukládat a načítat, test tisknout a generovat a tisknout správné řešení. Ukázku pracovního listu vidíte na obrázku 8.24, řešení na obrázku 8.25.

Přestože program Kostka dokáže testy generovat sám (přesněji: učitel si je s pomocí programu snadno sestaví), připravili jsme sadu takových zadání i s jejich řešeními a ta je jako samostatná složka priklady součástí přiložených materiálů na CD.

Osmistěn

Program Osmistěn je pouhou zajímavostí pro ty, které nebaví rozvíjet stále jen sítě krychle. Jeho prostředí a možnosti jsou zcela stejné jako postředí a možnosti interaktivní části programu Krychle. V interaktivní scéně manipuluje žák s pravidelným osmistěnem. Program však neobsahuje možnosti tvorby pracovních listů se sítěmi, není to pomůcka pro tvorbu didaktických materiálů.

8.3.5  Labyrint

Samostatná webová hra – aplikace Labyrint už nemá prostředím a tématem se školskou stereometrií společného nic. Jde však o hru, která cvičí prostorovou představivost velice intenzivně. Labyrint může hrát na veřejném webu http://3dhricky.wz.cz/ nebo http://geometry.cz/ kdokoliv bez omezení věku. Stačí k tomu webový prohlížeč a plug-in pro přehrávání Flash-aplikací, tedy běžné vybavení domácího počítače. Všechny potřebné informace ke hře jsou obsaženy přímo na příslušné webové stránce.

Labyrint umožňuje testovat a trénovat představu o poloze v trojrozměrném prostoru a schopnost udržení této představy při pohybu. Hra posiluje schopnost orientace v prostoru a prostorové paměti, cvičí schopnost mentální rotace, která je jednou ze složek prostorové představivosti. Hru není možné bez těchto schopností úspěšně hrát.

Prostředí hry zobrazuje jednoduchý drátěný model krychlové mřížky, prostoru složeného z jednotkových krychlí. V něm hráč vidí ve směru svého pohledu pouze hrany krychle, v níž stojí, a skrze její čelní stěnu hrany krychle před sebou. V tomto prostředí se hráč pohybuje – animací se otáčí kolem libovolného ze tří navzájem kolmých směrů (nahoru–dolů, vlevo–vpravo, dopředu–dozadu) nebo vstupuje do krychle před ním (krok vpřed). Přitom vidí pouze zmíněné hrany nejbližších krychlí a žádné jiné orientační body ani nástroje nemá. Prostředí vidíte na obrázku 8.26.


Figure 8.26: Prostředí Labyrintu

Na začátku každé úlohy model hráče postupnými kroky přesune do nějaké nové polohy. Hráč přitom sleduje své pohyby ve výše popsané animaci. Jeho úkolem je pozorně vnímat cestu a uvědomovat si svou okamžitou polohu tak, aby byl schopen se po skončení animace vrátit zpět do původní krychličky. Může použít výhradně výše uvedené pohyby, tedy pokud se chce například vrátit o jeden krok zpět, musí se otočit dvěma stejnými rotacemi do opačného směru a poté jít krok vpřed. K ovládání pohybu – otáčení a krokům vpřed – slouží několik kláves. Cesta zpět, použitá otočení, počet kroků ani výsledná poloha (to, jak je otočen) hráče nejsou nijak omezeny, rozhoduje jen to, zda se hráč vrátí do krychle, z níž byl vyvezen.

Pokud vyřeší úlohu úspěšně, zpřístupní se mu další úroveň hry,4 tedy další cesta. Pokud ne, zobrazí program informaci o chybě – vzdálenost od správné cílové pozice měřenou nejmenším možným počtem kroků ve směru souřadnicových os. Kteroukoli dostupnou úlohu může hráč řešit opakovaně. Dostupné jsou všechny úlohy, které již úspěšně vyřešil, a první z dosud nevyřešených úloh. V úspěšně vyřešené úloze může zkoušet jiné cesty nebo ji použít k tréninku před obtížnějšími úlohami. Počet pokusů není omezen.

Sady úloh jsme sestavili podle cíle testování či cvičení, obvykle se náročnost úloh v úrovních postupně zvyšuje, a to dvojím možným způsobem – jednak tím, že se cesty prodlužují, jednak tím, že obsahují více rotací a kombinované rotace. Schopnosti žáků je možné cvičit a testovat na několika různých sadách úloh – projektech. Volba úloh určité sady a jejich řazení v ní záleží na záměru autora konkrétního projektu.

Hráči se do hry hlásí jedinečným jménem (přezdívkou) a heslem. Hru mohou kdykoli přerušit a pokračovat v ní po opětovném přihlášení později. Jejich dosažené úrovně se zaznamenají a mohou pokračovat od úrovně, kde skončili. Po vyřešení všech úrovní (cest) sady hra končí.

Webové prostředí obsahuje kromě hry samotné ještě žebříček úspěšnosti, který obsahuje seznam jmen (přezdívek) s číslem nejvyšší dosažené úrovně hráče v dané sadě. Ten umožňuje soutěžit s ostatními hráči – ať již anonymními nebo těmi, jejichž přezdívky hráč zná. Žebříček přináší do hry soutěž a snahu o maximální úspěšnost. Jinak je však hra anonymní, hráči nikde neuvádějí skutečné jméno ani žádné jiné osobní údaje.

Pokud si hráči hrají sami, řídí si svůj postup spontánně. Taková hra, která je zcela dobrovolná, a v níž může hráč hru kdykoli opustit, bývá nejpřínosnější. Při řízené hře, kdy jsou hráči ke hře motivováni, je důležité respektovat náročnost hry, mít na paměti možnou únavu hráčů a snažit se jí předejít.

Sledování průběhu hry vyhodnocením uložených dat

Neviditelnou součástí programu je databáze, do níž jsou ukládány záznamy o průběhu hry, data všech pokusů (všech hráčů všech sad úloh). Ukládají se cesty, jimiž řešili jednotlivé úlohy a jejich úspěšnost. To dovoluje nejen vytvořit zmíněný žebříček, který hráči při hře vidí, ale následné zpracování těchto dat dává možnost detailněji sledovat průběh hry. Nejdůležitější ukládané údaje jsou: název sady, jméno hráče, číslo úlohy, cesta (tj. posloupnost jednotlivých dílčích pohybů), zdar/nezdar. Záznam data a času umožní mimo jiné oddělit data časově omezeného experimentu.

Ve volných projektech, jichž se účastní hráči bez rozlišení věku, bez časového omezení na úlohu či hru, s naprostou dobrovolností pokračovat ve hře či skončit, můžeme ze záznamů databáze sledovat náročnost a atraktivitu hry, obtížnost jednotlivých dílčích kroků, obtížnost cest či strategie řešení úloh. Můžeme také sledovat úspěšnost či vytrvalost jednotlivých hráčů. V řízených experimentech, kde známe například věk hráčů, se pak můžeme zaměřit na další jevy.


Figure 8.27: Počet pokusů odehraných všemi hráči při řešení jednotlivých úloh sady (40 úloh). Legenda: úspěšné pokusy jsou značeny modře, neúspěšné tmavě červeně.

Jedním ze sledovaných jevů může být schopnost adaptovat se na prostředí hry a řešit další typy úloh. V grafu na obr. 8.27 můžeme vidět postupné výsledky jednoho řízeného experimentu se žáky kvarty (čtvrtého ročníku nižšího gymnázia), v němž žáci dvou skupin řešili symetrické sady úloh, v nichž postupně přibývaly nové typy otočení. V prvých dvaceti úlohách se hráči setkali jen s otočením doleva a doprava. Úlohy 11–16 byly opakováním úloh 3–8 se záměnou těchto dvou otočení, úlohy 19, 20 obsahovaly obtížně zapamatovatelnou dlouhou cestu. Úlohy 21–30 byly kopiemi prvých úloh, ale místo doleva–doprava obsahovaly otočení nahoru–dolů. Graf ukazuje, jak se hráči učili orientovat v prostoru. Ukazuje podíl úspěšných (modrý sloupec) a neúspěšných (tmavý červený sloupec) pokusů na každou úlohu. Je vidět, že v úlohách 11–18 úspěšnost rostla a při setkání s novým otočením se vrátila téměř na původní hodnoty.

Při prvním experimentu s Labyrintem jsme nechali po dobu jednoho týdne hrát hru zcela dobrovolně, anonymně a bez komentáře většinou středoškolské a vysokoškolské studenty. V databázi se během týdne objevilo více než 3000 přístupů, hrálo 60 hráčů (z toho 15 studentů ČVUT). Stejnou sadu úloh pak řešili ve srovnatelné době (8 dní) učitelé informatiky na letní škole. Ani oni nebyli k řešení nijak motivováni, řešili ve svém volném čase, kterého ovšem měli – vzhledem k ostatním povinnostem a nabízeným aktivitám na kursu – velmi málo. Vliv věku hráčů se projevil pouze větší rozvážností a soustředěností starších hráčů, kteří potřebovali v průměru menší počet pokusů k úspěšnému vyřešení dané úlohy. Vliv na úspěšnost měřenou nejvyšší dosaženou úrovní v sadě se neukázal. Popisem získaných dat jsme se podrobněji zabývali v článcích [7] a [8].


Výše uvedené způsoby vyhodnocení získaných dat dávají spíše kvantitativní informaci pro autora sady úloh či pro učitele, kteří chtějí sledovat schopnosti studentů. Pro hráče samotné je zajímavé spíše jejich umístění v žebříčku než výše uvedené grafy. Často ale chtějí vědět, proč nevyřešili úlohu správně, kde vlastně zabloudili, kam se měli otočit po druhém kroku atd. Ze samotného výpisu cesty sice odpověď plyne, ale získat o ní představu je jen o málo snazší než vyřešit úlohu samotnou.

Zajímavou otázkou je strategie řešení úlohy, tedy to, zda hráči dávají při cestě zpět přednost zapamatování a sledování cesty, kterou byli vedeni, či zda udržují správnou představu o své aktuální poloze a vracejí se zpět vlastní cestou. Sledování tohoto jevu opět vyžaduje vyhodnocení cesty z jejího textového záznamu. To je v hromadném měřítku téměř nemožné. Odpovědi jsou dobře a přehledně čitelné až z grafického zobrazení cest ve virtuální trojrozměrné scéně, která dovolí vystoupit ze slepého prostředí hry a pohlédnout na scénu zvenčí.

Zobrazení záznamů o cestách ve virtuální scéně

Pro zobrazení cest jsme opět zvolili jazyk VRML, takže k prohlížení scén stačí webový prohlížeč s VRML modulem. Obrázek 8.28 ukazuje jedno správné a několik nesprávných řešení úlohy: tmavá kulička představuje startovní pozici hry (a tedy místo, kam se má hráč vrátit), tmavá cesta je ta, po níž hráče vezla aplikace, kužel ukazuje směr, v němž hráč stojí před návratem zpět. Světle je vyznačena cesta hráče a místo, kde skončil. Při zvoleném způsobu reprezentace cest hráčů můžeme v prostředí prohlížeče sledovat cesty opravdu detailně, scénu můžeme pomocí ovladačů modulu interaktivně přibližovat a otáčet s ní.


Figure 8.28: Cesty úspěšného a několika neúspěšných pokusů jedné úlohy

Pokud chceme posoudit obtížnost jednotlivých úloh, zobrazíme si odděleně jednak správné a potom bludné cesty všech hráčů, kteří řešili danou úlohu. Obojí vidíme na obrázku 8.29.


Figure 8.29: Cesty všech úspěšných a neúspěšných pokusů jedné úlohy

Při zobrazení bludných cest dobře vyniknou nejčastější chyby – bývá to nesprávné otočení v některém místě cesty. Méně častá byla řešení s nesprávným počtem kroků vpřed.5


Figure 8.30: Cesty úspěšných a neúspěšných pokusů obtížné úlohy – scéna s neúspěšnými cestami je pro velký počet cest nepřehledná.

Strategie řešení úloh

Jak jsme již uvedli, zajímaly nás dvě strategie řešení úloh: zapamatování si a kopírování původní cesty (tedy návrat po cestě, po níž byl hráč veden ve hře) a naproti tomu cesty, kterými hráč šel na základě správného určení polohy, v níž se v každém jednotlivém kroku nachází. Grafické zobrazení tyto dvě strategie dobře ukáže a rozliší. Na úspěšných řešeních obtížnější úlohy na obrázku 8.30 převažují řešení sledující původní cestu (čím silnější cesta v obrázku, tím více hráčů ji sledovalo). Úlohy na obrázku 8.31 řešilo méně hráčů – jen ti, kteří se dokázali dostat do vyšší úrovně hry – a mnozí z nich (či všichni – na první z ukázek) se vraceli vlastní cestou.


Figure 8.31: Cesty úspěšných pokusů obtížných úloh

Sledování a vyhodnocení odpovědí jednotlivých hráčů

Ve výše zmíněném prostředí můžeme také vyfiltrovat a následně zobrazit řešení jednotlivých úloh pro konkrétního hráče. Takové zobrazení však ještě nemusí dát hráči uspokojivou odpověď na otázku, jakou chybu při řešení udělal. Jednoznačnou odpověď dá až přehrání, animace zaznamenané cesty. Na veřejném webu http://3dhricky.wz.cz/ nebo http://geometry.cz/ je možné podívat se na záznamy o cestách konkrétního hráče a zvolit přehrávání cesty vybrané ze seznamu. Panáček ve scéně pak v plynulém pohybu přesně sleduje zaznamenané pohyby hráče. Druhá aplikace pak dává možnost zobrazit celkové přehledy zaznamenaných cest (obr. 8.32). Její volby umožní zobrazit buď všechny zaznamenané odpovědi k dané úloze nebo pouze cesty daného hráče a umožní odděleně zobrazit úspěšné a neúspěšné pokusy.


Figure 8.32: Interaktivní zobrazení cest

Další verze Labyrintu

Při prvním setkání s Labyrintem může být pro někoho rychlost pohybů ve hře příliš velká. Sledování cesty pohybu a vytvoření představy o poloze v prostoru vyžaduje nejen značné soustředění, ale také jistý čas. Pokud si hráč nestihne tuto představu během hry vytvářet a udržovat, jsou pro něho obtížně překonatelné úlohy, v nichž je cesta delší. Tehdy si ji nestihne zapamatovat a následně podle svého vlastního tempa v představě přehrát a vyřešit. Proto vznikla pomalá verze Labyrintu. Doporučujeme ji všem, pro koho by byla rychlost pohybu v původní variantě těžko překonatelnou překážkou. Zpomalení pohybu sice řešení usnadní, ale úroveň prostorových představ se tím nesníží. Navíc předejdeme hrozící ztrátě motivace vyvolané pocitem nepřekonatelné obtížnosti.

Pro sledování konkrétních schopností hráčů a různých strategií je vhodné sestavit odlišné sady úloh. Podobně pro mladší hráče, kteří se snadno unaví, můžeme hru přizpůsobit a volit snazší a motivační úlohy. Na již zmíněných webových stránkách http://3dhricky.wz.cz/ nebo http://geometry.cz/ jsou k dispozici různé projekty, které se liší sadami úloh, počtem úloh v sadě i možností výběru úlohy k řešení.

Pro potřeby hry či cvičení, pro ty, kdo si nechtějí nebo nemohou hrát online, či pro ty, kdo chtějí samostatně pracovat s vlastními sadami úloh, existuje lokální verze Labyrintu, kterou rovněž najdete na http://geometry.cz/ a přiloženém CD. V této variantě jsou v každém okamžiku dostupné všechny úlohy–úrovně dané sady a varianta nemá podpůrnou databázi. Není tedy možné následně prohlížet či vyhodnocovat cesty hráčů ani zobrazit žebříček úspěšnosti.

Labyrint je hra, kterou si se zájmem zahráli studenti i dospělí. I při neúspěších prostorovou představivost cvičí a posiluje. Je velice intenzivní a náročná, některé děti ve věku do 14–15 let se při hraní její původní (tj. ne pomalé) verze rychle unaví nebo o ni ztratí zájem. Starší ji už hrají s chutí. Vyhodnocení a prostorové zobrazení cest zvyšuje atraktivitu hry, protože hráčům poskytuje estetickou, přehlednou a srozumitelnou zpětnou informaci o vlastních chybách. Ve hře samé je hráč ponořen ve tmě, jeho baterka nedohlédne za hranice jedné kostky. Model cest mu nabídne pohled zvenku do celého prostoru, který prošel.

Jazykové varianty her

Všechny uvedené hry předkládáme v české jazykové variantě, jsou však připraveny pro varianty jiné. K lokalizaci slouží soubory v příslušně označených podsložkách složky english na přiloženém CD.

Anglické varianty ostatních her najdete na výše zmíněných webových stránkách http://3dhricky.wz.cz/ nebo http://geometry.cz/.


1
Jak kde, samozřejmě, ale delší bývá málokdy.
2
General intelligence factor – Charles Spearman, 1923
3
Zařadíme ji pouze tehdy, pokud byli žáci dosud úspěšní a nebo si navržený postup schováme a zaměstnáme jím za odměnu rychlé a nadané žáky v jiné hodině, kdy budou hotovi s řešením úkolů dříve než spolužáci.
4
v základní podobě hry
5
Pokud necháme zobrazit příliš mnoho nesprávných cest, nejspíš bude scéna přeplněná a málo přehledná jako na obrázku 8.30 vpravo. Vhodnější je data rozdělit.
6
Jde o žáky ve věku přibližně 11–12 let.

Previous Up Next