Probíhající reforma dnešní školy deklaruje snahu o přiblížení procesu vzdělávání potřebám člověka nového tisíciletí. Pomiňme skutečnost, že jakákoliv reforma nezabrání špatnému učiteli učit špatně, i to, že dobří učitelé přemýšleli o obsahu a metodách, snažili se předávat žákům smysluplný obsah a hledali přístupné formy bez ohledu na to, jaká reforma právě probíhala. Zaměřme se konkrétně na změny v obsahu a metodách výuky geometrie, jmenovitě stereometrie, v kurikulu střední školy.
Požadavek aktuálnosti neznamená předkládat žákům a studentům pouze ta fakta a poznatky, na něž budou opravdu tázáni či je přímo použijí, učit je těm dovednostem, které budou opravdu bezprostředně používat. O tom bylo napsáno mnohé. To, že učit matematice (a geometrii!) znamená mnohem více učit principům než konkrétním faktům, je též dostatečně zdůrazňováno. Taxativní vymezení kurikulárního obsahu je nezbytné pro základní sjednocení výstupu jednotlivých škol. K určení toho, co by si měl žák ze školy skutečně odnést, dnes používáme (dříve široce diskutovaný) pojem kompetence. Ani jejich vymezení však – ostatně jako každý izolovaný nástroj – není samospasitelné a hlavně je velice obtížné. Buď hrozí, že budou kompetence stanoveny velmi široce a tudíž nedají žádnou konkrétní informaci a nebo naopak velmi detailně a pak mohou být obtížně formulovatelné a jejich formulace spotřebovává více úsilí než smysluplná realizace sama.
Novým způsobem stanovení kurikulárního obsahu jsou Rámcové vzdělávací programy [33], [35] a na jejich základě vytvořené Školní vzdělávací programy [34], [36]. Vedeny jistě smysluplnou snahou o racionalizaci vzdělávacího procesu vytvořily – pochopitelně – problémy nové. Není cílem této práce diskutovat výhody či nevýhody systému, který je realitou. Zde se chceme zmínit jen o důsledcích, které z něho vyplývají pro geometrické vzdělávání. Ty jsou na jednu stranu velikým nebezpečím a na stranu druhou skýtají prostor pro kreativního učitele, který má rád geometrii:
Pro úspěch učitelova snažení při výuce stereometrie jsou zásadní dva aspekty: podnítit zájem žáků a studentů a podpořit jejich prostorovou představivost. S tím souvisí nácvik způsobů prostorového myšlení. Proto věnujeme podpoře prostorové představivosti v této práci samostatnou kapitolu, v níž představíme modely, které stojí mimo témata v učebnicích. Cvičení obecných schopností však považujeme za nejpodstatnější přínos stereometrie k rozvoji schopností žáka.
Učitel má při školní práci k dispozici tyto nástroje, prostředky a aktivity:
Využívání digitálních technologií je samozřejmou součástí komunikace člověka ve společnosti. Opomíjení této skutečnosti školou by nutně vedlo k naprosté izolaci školy od reálného prostředí. Přes nespornou finanční náročnost se daří postupně vybavovat školy moderními technologiemi. Učitelé, kteří nevyrostli v počítačové éře, musí s těmito technologiemi pracovat stejně jako jejich mladší kolegové. Stejně jako v jiných oborech lidské činnosti k tomu přistupují někteří s nadšením, jiní tak trochu z donucení a s nejistotou. Škála nástrojů je poměrně široká, nestačí si osvojit obsluhu jednoho konkrétního zařízení či jeden konkrétní typ programu. Orientace v nabízených nástrojích a programech je obtížná už jen tím, jak rychle se vyvíjejí a zastarávají. Má-li učitel efektivně pracovat s nějakým nástrojem, musí dostat dostatečně srozumitelnou metodiku a prostředí, jehož základní ovládání je jednoduché, přehledné a srozumitelné. Učitel není programátor a nelze předpokládat, že si bude samostatně vytvářet či dotvářet prostředí aplikací.
Výše uvedené se týká i využívání prostorových modelářů a CAD systémů ve výuce stereometrie. Tyto nástroje se poprvé objevily před téměř padesáti lety, ale do nedávné doby šlo o nástroje určené pro průmyslový vývoj, design či obrábění. S rozšířením osobních počítačů pronikly mezi laickou veřejnost a spolu s masivním vývojem počítačové grafiky, která dnes již umožňuje tvorbu realistických animovaných scén, prostorové interaktivní hry a vytváří mnohavrstevnou virtuální realitu, dalece přesáhly průmyslovou sféru. Mezi volně šiřitelnými programy najdeme velice výkonné modelovací a animační nástroje, jmenujme zde např. velice kvalitní program POV-Ray, Blender (obr. 1.1) či omezené verze a studentské licence profesionálních animačních programů jako jsou například produkty firmy AutoDesk – Maya, 3ds Max, AutoCAD apod. Pro výuku geometrie jsou však tyto nástroje nevhodné z mnoha důvodů. Většinou jde o prostředí velmi členitá, jejich ovládání nebývá intuitivní, tvorba scén vyžaduje zkušenost a často mívají i značné nároky na hardware. Jeden z nejznámějších CAD systémů – AutoCAD, jehož historie sahá až do roku 1982, se používá ve školách technického zaměření.
Školní potřebě vyhovují některá jednodušší prostředí, např. software Rhinoceros (obr. 1.2) či Design CAD. Pro didaktické potřeby základní a střední školy pak vznikly na míru systémy dynamické geometrie. Jejich možnostem se věnuje Kapitola 2. Na obr. 1.3 vidíte základní obrazovku systému Cabri 3D. Dalšími nástroji, které mají ve školské matematice své místo, jsou počítačové algebraické systémy, CAS (Computer Algebra Systems).
Vývoj výše zmíněných tzv. systémů dynamické geometrie (dynamikou se zde rozumí vzájemná parametrická vazba setrojených objektů) přináší do škol nové – a pro výuku velice užitečné – nástroje. V planimetrii již existuje rozsáhlá zásoba metodických materiálů a počítačových modelů. Vznikl celoevropský projekt I2Geo, který si vytyčil za cíl sloučit existující metodické materiály pod jednotné webové prostředí [37], které obsahuje kromě možnosti využívat a sdílet připravené materiály také nástroje k jejich hodnocení a umožňuje vyhledávání na základě významu pojmů. Zastoupení prostorových modelů je však i v tomto projektu nízké. Přestože 3D systémy dynamické geometrie je již u nás vybaveno mnoho škol a i v sousedních zemích již vznikají projekty podporující jejich využití (jeden takový projekt je popsán v [32]), organické začlenění těchto systémů ve výuce je zatím spíše okrajové.
Využití technologií ve výuce je věnována řada studií u nás i v zahraničí. Rozborem a obecnými aspekty užití počítačových modelů ve výuce geometrie a při rozvoji prostorové představivosti se zabývá např. J. Štípek v [28]. Na tomto místě však chceme zdůraznit, že využití počítačových aplikací nepovažujeme za jednoznačně bezproblémové a máme na paměti nebezpečí, která jsou zmíněna např. v [18], kde autoři konstatují, že nekritické využívání technologií může vést například k dalšímu prohlubování rozdílů mezi slabšími a talentovanějšími žáky. Proto na mnoha místech zdůrazňujeme nutnost využívání různých metod a nástrojů a nutnost přihlížet k individuálním schopnostem žáků.
Cílem práce je poskytnout učitelům, kteří geometrii učit chtějí, materiál pro výuku stereometrie a pro podporu prostorové představivosti žáků a studentů. Právě potřeba jisté úrovně prostorové představivosti je tím, co dělá stereometrii obtížnou i pro některé učitele. Žáci mohou učiteli – samozřejmě bez důkazu – předkládat tvrzení, jejichž pravdivost je nesnadné ověřit, mohou předkládat své prostorové představy, dožadovat se vysvětlení chyb v úvahách. Komunikace se žáky vyžaduje individuálnější přístup než v jiných partiích matematického vzdělávání. Pro výuku je potřebný dostatek materiálů, ať již tištěných, či pevných modelů pro manuální manipulaci. Taková příprava je extrémně časově náročná. A právě v ní by chtěla tato práce učitelům pomoci. Zvolený nástroj jsou prostorové virtuální modely, programy a hry, které pomáhají rozvíjet prostorovou představivost žáků i bez aktivní účasti učitele, nástroje pro přípravu tištěných materiálů a modely umožňující žákům samostatnou zpětnou kontrolu nalezených řešení a úvah.
V úvodní kapitole následujícího textu – Kapitole 2 – najde čtenář přehled možností a obvyklých nástrojů systémů dynamické geometrie. Nejde o část metodickou, ale spíše informativní.
Vlastní metodika je obsažena v dalších kapitolách. Nejobsažnější z nich, Kapitola 3, prochází stereometrické učivo a navrhuje k němu vhodné 3D modely, rozlišené na modely určené pro demonstraci učitelem, modely určené k žákovské manipulaci a modely obsahující zadání úloh, které mají žáci řešit. V této části se objeví i odkazy na obsah dalších kapitol, zejména návrhy úloh pro talentované žáky a modely sloužící učitelům jako generátory testů. Všechny komentované modely jsou – jako součást této práce – na přiloženém CD.
Do samostatné Kapitoly 4 jsme vyčlenili úlohy, které dosud nebývaly (nebo byly velmi omezeně) běžnou součástí obsahu stereometrických lekcí – konstrukční úlohy. Takové úlohy proto v Kapitole 3 víceméně chybí a učitel je najde až v Kapitole 4. Jsou uvedeny v tématicky členěných kapitolách a předpokládáme jejich začlenění do stereometrického kurzu podle výběru učitele.
Trochu mimo téma stereometrie stojí samostatná Kapitola 5 věnovaná užití nástrojů dynamické geometrie při podpoře středoškolského kurzu analytické geometrie. Chceme však zdůraznit souvislost těchto časově oddělených partií matematiky a ukázat možnosti a omezení nástrojů dynamické geometrie. Je třeba zdůraznit, že pro podporu metod analytické geometrie jsou určeny spíše systémy CAS, systémy dynamické geometrie však více zdůrazní geometrický pohled na řešené úlohy a problémy.
Následující Kapitola 6 obsahuje komentované příklady a úlohy či sady úloh určené talentovaným žákům pro jejich samostatnou či týmovou práci. K příkladům jsou opět k dispozici modely se zadáním a řešením úloh. Rozdělení na příklady a úlohy je pouze pracovní a slouží k odlišení řešených a neřešených zadání. Kapitola se formou souvisejících úloh věnuje třem souvislejším tématům a kromě toho obsahuje několik jednotlivých zajímavých stereometrických úloh a problémů.
Kapitola 7 obsahuje komentované modely, které mohou sloužit učitelům pro tisk testových úloh a zároveň automaticky poskytují správná řešení. Protože jde o dynamické modely, mohou sloužit i pro interaktivní práci žáků samých, jako model, který poskytuje okamžitou zpětnou vazbu kontrolou správnosti řešení.
Pro podporu představivosti mohou sloužit i modely s úlohami, které nejsou přímo tématicky spojeny s konkrétní partií geometrického učiva, ale mohou sloužit jako rozcvičky prostorového myšlení. Některé mají formu webové hry, jiné fungují jako samostatné aplikace. Jejich popis najdete v Kapitole 8 a zdroje na přiloženém CD.
Podkapitola 8.3.5 je věnována popisu webové online hry a jejího využití ve škole. Podkapitola 8.4 pak obsahuje vyhodnocení experimentu, který sledoval vliv této hry na rozvoj prostorové představivosti žáků.
Poznámka k textu: V celém textu dodržujeme ustálenou terminologii učitel–žák. Jen pokud chceme zdůraznit, že uvedené tvrzení má obecnější platnost nebo že jde o starší žáky a studenty, používáme slovo student.
Modely jsou na přiloženém CD umístěny v systému tématicky pojmenovaných složek. Samotné názvy modelů pro určení jejich obsahu příliš použitelné nejsou. K orientaci slouží odkazy v textu a v přiložené tabulce modelů ??.
V textu uvádíme u každého modelu zvýrazněným písmem pouze jeho název (bez přípony – ta je všude .cg3). V příloze práce je tabulka obsahující seznam všech souborů. V ní uvádíme jméno souboru s určením složky, v níž se model nachází, určení modelu (pro předvádění učitelem, pro samostatnou žákovskou manipulaci, případně ke konstrukci u konstrukčních úloh) a odhadovanou obtížnost odstupňovanou do čtyř úrovní.
K některým úlohám patří sady několika souvisejících a podobně pojmenovaných modelů. Takové sady jsou někdy uloženy v podsložce příslušné složky a bude na to v textu upozorněno. Sady obsahují buď různé varianty úlohy nebo – v případě složitějších konstrukcí – postupné fáze řešení. Je sice možné použít soubor s výsledkem konstrukce a spustit krokování, ale v krokování jsou všechny kroky rovnocenné a systém Cabri 3D neumožňuje krokování po větších – logicky ucelených – úsecích konstrukce. Navíc jsou v připravených dílčích modelech často získané mezivýsledky odlišně zvýrazněny.
Pro tvorbu modelů jsme – z dále uvedených důvodů – zvolili program Cabri 3D, který však je licencovaný a zpoplatněný. Modely v něm vytvořené je však možné prohlížet ve webovém prohlížeči, pokud jsou vloženy jako objekty do html stránek. Je k tomu potřeba pouze volný plug-in (zásuvný modul). Proto kromě modelů samých přikládáme ještě oddělenou složku s takovými stránkami.
Na přiloženém CD je také upravená html verze zmíněné tabulky ?? modelů, z níž je možné příslušný model interaktivně otevřít v systému Cabri 3D (pokud ho čtenář má), nebo zobrazit ve stránce pomocí webového prohlížeče.
